El teorema d’incompletesa de Gödel és un resultat fonamental en l’àmbit de la lògica matemàtica, formulat pel matemàtic Kurt Gödel el 1931. Aquest teorema demostra les limitacions dels sistemes formals, com ara l’aritmètica, i estableix que hi ha afirmacions que no poden ser demostrades ni refutades dins d’aquests sistemes, és a dir, que són indecidibles.
El teorema consta bàsicament de dues parts
Primer Teorema d’Incompletesa de Gödel: En qualsevol sistema formal que inclogui prou aritmètica com per a representar les propietats bàsiques dels nombres naturals, hi ha afirmacions que són veritables, però que no poden ser demostrades dins del sistema. A més, el sistema no pot demostrar la seva pròpia consistència, a menys que sigui inconsistent.
Segon Teorema d’Incompletesa de Gödel: Si un sistema formal és consistent, això significa que no pot derivar cap contradicció. Llavors, el sistema no pot demostrar la seva pròpia consistència.
Aquest teorema va tenir profundes implicacions en la filosofia de les matemàtiques i en la teoria de la computabilitat. Va posar en qüestió la idea de trobar un conjunt complet d’axiomes que puguin demostrar totes les veritats matemàtiques i va establir que sempre hi haurà afirmacions que quedaran fora del coneixement matemàtic, independentment de quina sigui la base axiomàtica que s’utilitzi.
L’impacte del teorema de Gödel va transcendir el món de les matemàtiques i va tenir repercussions en altres àrees de la ciència i la filosofia. Va plantejar qüestions profundes sobre la naturalesa de la veritat, la lògica i els límits del coneixement humà.